Тигры, принцесса и логика

Начал читать сборник логических задач Рэймонда Смаллиана «Принцесса или тигр». Всё бы ничего, да впал я в ступор от одной из задачек. Её и предлагаю табунчанам. Сам я посмотрел ответ и… всё равно не понял. Надеясь, что кто-то решит сам (и сможет объяснить всё такому глупому пони, как я) выкладываю сюда. Удачи!
ЗадачаТеперь узнику приходилось выбирать уже не из трех комнат, а из целых девяти! При этом, как объяснил король, только в одной из них находилась принцесса в каждой же из остальных восьми комнат либо сидел тигр, либо вообще никого не было. К тому же, добавил король, утверждение на табличке у комнаты, где находится принцесса, истинно, таблички на дверях комнат с тиграми содержат ложные сведения, а на дверях пустых комнат может быть написано что угодно (т.е. или истина или ложь).

I Принцесса находится в комнате с нечетным номером

II Эта комната пуста

III Либо утверждение V истинно, либо утверждение VII ложно

IV Утверждение I ложно

V Утверждение II или утверждение IV истинно

VI Утверждение III, ложно

VII В комнате I принцессы нет

VIII В этой комнате сидит тигр, комната IX пуста

IX В этой комнате сидит тигр, и утверждение VI ложно.
Таблицей
Тоже таблица, но на языке оригинала (вдруг пригодится)

Узник задумался.
— Но ведь задача неразрешима! — вдруг сердито воскликнул он. — Это нечестно!
— А я это прекрасно знаю, — засмеялся король.
— Очень смешно! — возмутился узник. — Тогда скажите мне по чести хоть одно: пуста комната VIII или же в ней кто-то есть?
У короля достало совести ответить, пуста ли комната VIII. Из этого узник сумел догадаться, где находится принцесса.
Так где же находилась принцесса?

9 комментариев

На самом деле, при данных условиях задача действительно видится неразрешимой. Если утверждение у комнаты с принцессой истинно, то там не может быть написанно, что в комнте — тигр. С другой стороны, у комнат с тиграми не может быть написанно, что в них тигры, т. к. утверждение должно быть ложным. Следовательно, все комнаты, у которых написанно, что в них тигр, должны быть пустыми, а утверждения — ложными. Тогда приходим к тому, что комнаты VIII и IX пусты, а соответствующие утверждения — ложны, но утверждение VIII говорит, что комната IX пуста, из чего делаем вывод, что в комнате IX кто-то есть, однако по вышеприведённым рассуждениям она должна быть пуста. Имеем противоречие.

Там точно подвохов в условии нет?
Без подвохов, только логика. Автор математик и сама книга описывается как «путешествие по волнам математической логики». В начале была пара подвохов, но они там ради шутуи. После идут одни рассуждения.
Собственно, на комнатах VII и IX я застрял.
Нужно построить граф зависимостей и посмотреть
Есть как минимум два варианта, когда в одной комнате принцесса, а все остальные пустые: когда принцесса в четвёртой и когда принцесса в пятой. Действительно, проверять тут надо только то, что написано на комнате с принцессой, а на пустых может быть что угодно. Если принцесса в четвёртой комнате, то утверждение 1 действительно ложно, так что всё корректно. Если принцесса в пятой, то истинно утверждение 2, и снова всё корректно. Поэтому если бы король сказал, что восьмая комната пуста, узник бы не различил эти два сценария. Но узник различил, значит, она непуста.

В восьмой комнате не может быть принцесса, ибо тогда написана неправда. А вот тигр может быть, ибо цельное утверждение «Здесь есть тигр, а комната 9 пуста» всё равно ложно, если комната 9-таки непуста. То есть в 8 сидит тигр, а 9 непуста. Аналогично рассуждая для 9, получаем, что в 9 сидит тигр, а утверждение 6 истинно. Из истинности 6 получаем ложность 3, а из неё — ложность 5 и истинность 7 (если неверно «A или B», то неверны оба — как A, так и B). Из ложности 5, в свою очередь, получаем ложность как 2, так и 4, а из ложности 4 — истинность 1.

Итак, суммируя: 1 — И, 2 — Л, 3 — Л, 4 — Л, 5 — Л, 6 — И, 7 — И, 8 — Л, 9 — Л. Принцесса может быть только в одной из истинных комнат 1, 6, 7. Но раз 1 истинно, то не в 6, а раз 7 истинно, то не в 1, итого — принцесса в седьмой комнате.
Правильный ответ
Барабанная дробьЕсли коротко, то всё верно. Можете забрать принцессу и ускакать с/на ней в закат. Под следующим спойлером ответ из книги.Сплошной текстЕсли бы король сообщил узнику, что комната VIII пуста, то у последнего не было бы никаких шансов обнаружить принцессу. Но так как узник все же сумел догадаться, где находится принцесса, то, стало быть, король сказал ему, что в комнате VIII кто-то есть.
Это позволило узнику рассуждать следующим образом.
Принцесса не может находиться в комнате VIII, поскольку если бы это было так, то надпись на табличке VIII оказалась бы верной, — сама же эта надпись утверждает, что в комнате сидит тигр; значит, это сразу приводит нас к противоречию. Таким образом, принцессы в комнате VIII нет, но так как в ней все же кто-то есть (ведь она не пуста) — следовательно, в комнате VIII должен сидеть тигр. Поскольку там находится тигр, табличка на дверях этой комнаты лжет. Наконец, если пуста комната IX, то надпись на табличке VIII должна быть верной — значит, комната IХ не может быть пустой.
Итак, в комнате IX также кто-то есть. Это не может быть принцесса, поскольку тогда табличка на дверях комнаты оказалась бы верной — отсюда сразу следовало бы, что в комнате сидит тигр. Значит, на табличке IX записано ложное утверждение. Далее, если бы неверной оказалась табличка VI, то табличка IX утверждала бы правду. На самом деле это не так, и, следовательно, то, что написано на табличке VI, — истинно.
Далее, поскольку табличка VI верна, это означает, что на табличке III написана ложь. Единственная возможность, чтобы фраза на табличке III оказалась ложной, соответствует случаю, когда табличка V ложна, а табличка VII истинна. Поскольку табличка V ложна, то ложными будут также утверждения на табличках II и IV. Кроме того, поскольку табличка V является ложной, табличка I должна быть истинной. Теперь известно, на каких табличках написана, правда, а на каких ложь, а именно:
I- правда
II- ложь
III- ложь
IV- ложь
V- ложь
VI- правда
VII- правда
VIII- ложь
IX- ложь
Таблицей
Ясно, что принцесса может находиться только в комнатах I VI и VII. Так как табличка I утверждает правду, то принцесса не может оказаться в комнате VI, наконец, поскольку истинна табличка VII, принцесса не может находиться и в комнате I. Следовательно, принцесса — в комнате VII.
И, если не сложно, ответье на несколько вопросов. Полдня бьюсь над задачей и не до конца всё понял.Спойлер1. Главная моя проблема была в том, что я не допускал одновременной лжи и истины в комнатах VIII и IX. Но неужели VIII не может быть пустой и лживой? Например она лжет, что в ней тигр, но не лжёт о пустоте IX. То же в IX. В этом случае я не нахожу противоречия между пустотой/непустотой комнаты и возможностью дать правильный ответ. Это непонимание привело меня к другой проблеме.

2. Какой оптимальный способ рассуждения в задаче? Вы шли из комнаты VII и дальше или подставляли принцессу в каждую комнату пока не пришли к выводу, что VIII должна быть полной?
1. Комната VIII не может быть пустой, потому что часть условия задачи состоит в том, что после ответа короля узник сумел найти принцессу. Если бы король дал ответ, что она пуста, узник не смог бы этого сделать. (Я привёл в своём решении два неразличимых для узника варианта в этом случае.)
2. Ну вот как я описал, в таком порядке я примерно и решал. Понятно, что король мог дать ответ, либо что комната пуста, либо что непуста, но когда комната непуста, это даёт узнику больше информации (потому что это сразу ограничения на истинность какие-то). Поэтому скорее всего он дал ответ, что она непуста, и в первом абзаце комментария выше я доказываю, что узник не смог бы дать правильный ответ в противном случае — первым делом я понял это. Дальше просто нужно понять про как можно больше утверждений, истинны они или ложны, начиная с этой самой восьмой комнаты, про которую у нас есть инфа, что она непуста, и оказывается, что весь этот клубок несложно раскрутить. И после того, как истинности — ложности установлены, найти принцессу не составляет труда.
Спасибо. Кажется я неправильно понял условие. Думал, что комнаты могут быть наполовину забиты тиграми и наполовину быть пустыми. И когда, словно Холмс, вы мне все разжевали, я могу повторить за Ватсоном: «Действительно, теперь, когда вы все объяснили, это выглядит необычайно просто».
Свернувшись клубочком, прямо посреди комнаты мирно спал тигр. Вспышка и хлопок телепортации разбудил его, он поднял голову и повернул к источнику шума.
— Киса! — Радостный вопль принцессы заставил шерсть на хребте подняться дыбом, а самого зверя вскочить.
— Иди сюда, кис-кис-кис! — Отскочив, он вжался в угол, мяуча от ужаса и неотвратимой неизбежности.
Здесь есть нарушение логики, с комнатами VIII и IX, в них нет ни тигра, поскольку таблички в комнатах с тиграми ложные, ни принцессы, поскольку табличка на комнате с принцессой истинна. Но утверждение таблички с комнаты VIII прямо указывает, что комната IX пуста, хотя утверждение ложно.
Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.