Свободное падение поней

Одинокий физик, почесав темя,
Измеряет длину, массу и время.
Парочка физиков мечтает вдвоем
Измерять температуру, плотность, объем.
Трое физиков, построившись в ряд,
Меряют энергию, скорость, заряд.
Четыре физика в хорошем настроении
Измеряют давление, а в плохом — ускорение.
Пять физиков выбегают на площадь,
Измеряют импульс, частоту, силу и площадь.
Шесть физиков приходят к седьмому на именины,
Измеряют какие-нибудь другие физические величины.

Г. Остер, «Физика»

Безумные учоные выходят на тропу подсчетов!

GW, «Свободное падение поней»


Безумные учоные выходят на тропу подсчетов!
Трудно рассуждать о мире пони, не зная основных его физических констант и законов природы. На основании множества фактов можно сделать вывод о том, что ми, в котором живут наши маленькие пони, сильно отличается от нашего, земного. Взять хотя бы в три раза меньшую скорость звука. На этот раз копнем глубже и выясним еще одну цифирь, отображающую немаловажную сторону мира пони.

Во время эпичного полу-проигрыша в песне This Day Aria из s02e26 делегация добра в составе Твайлайт Спаркл и принцессы Кейденс совершает чуть менее эпичный полет. Еще раз посмотреть его можно в этом видео, на 1:46.


Хороша песня, ничего не скажешь. Но полет еще лучше. Если из песни можно узнать только намерения сторон, то полет способен изменить взгляды на весь сериал в целом. Для начала несколько кадров этого полета. Ввиду неединичного их количества, кадры идут под спойлер.
Спойлер






Сразу оговорюсь: приведенные кадры представляют собой далеко не всю соответствующую сцену. Конкретно этот план состоит из 29 кадров. Так что это только образцы. Так сказать, для пони-мания.

Что мы видим в этом фрагменте? Это же натуральная баллистическая траектория. Вот такое вот доказательство. Видно не очень, но суть ясна, особенно по линии перемещения Кейденс:

Немного более понятная схема. Белыми точками отмечены места нахождения левого глаза Кейденс на каждом из кадров сцены:

Глаз был выбран в качестве «точки отсчета» из-за того, что Твайлайт и Кейденс во время полета меняли свои позы. При этом только головы сохраняли ожидаемое положение в данной точке баллистической кривой.

Какого сена?

Для начала стоит рассмотреть учебник физики за 10-й класс (автор В.А. Касьянов). В разделе про материальные точки есть такая вот страница, на которой напечатано уравнение баллистического движения.

Для тех, кому лень грузить весь скан страницы, но хочется крупных буковок и цифр:


Что мы видим в этой формуле? Мы видим координаты тела (икс-игрек), скорость тела в начале баллистического полета, издевательства над углом возвышения, а также заветную букву «G». При желании мы можем выяснить все, кроме ускорения свободного падения. Из названия этой статьи, пожалуй, понятно, что целью вычисления всего будет именно нахождение УСП и только.
Сперва займемся размерностями траектории, а именно теми самыми X и Y. Далее мы найдем временный показатели полета, угол возвышения в начале траектории и исходя из всех этих данный найдем искомое ускорение свободного падения.

… ты не посмотришь свысока

Начнем с высоты траектории полета. Для вычисления этого параметра нужно выяснить размеры пони-парочки в начале и в конце видимой траектории. Из известного исследования берем известный расчет размера головы жеребенка:


И используем его результаты для вычисления высоты головы Кейденс.


Черная линия — разделитель кусочков двух кадров одного плана. Два кадра зафранкенштейнены для удобства.

Теперь мы знаем размер головы Кейденс — ~48,1 сантиметра — и можем наложить его на точки нашей поняшеской траектории.


По верхней точке показанного полета считаем максимальную высоту его траектории. Заодно выведем и длину видимой горизонтальной проекции:

Получаем Y = 5,67 м.

Физический треугольник

Длина и высота траектории как бы есть. Все, вроде бы, хорошо, но есть небольшая загвоздка. Верхняя точка траектории полета ближе к наблюдателю, чем начальная. Из-за этого на следующем фотомонтаже в обоих фазах размеры поняш немного отличаются.

В случае с Кейденс высота головы в 12 пикселей превращается в 15. Поэтому для дальнейших вычислений придется сперва выяснить угол между нормалью от наблюдателя и плоскостью полета. Иначе мы не сможем знать длину горизонтальной проекции баллистической траектории.

Сперва хочу выразить благодарность всем тем броняшам, которые участвовали в поиске способа разобраться с этим вопросом. Граждане Liksys , waRans_ , Smolilo и Surprise помогли делом, а Veronika , orc01 и CelestiaLove — добрым словом. Спасибо, ребята, вы очень сильно помогли!

Вернемся к разбирательствам и физике.

Примененная в этом разделе методика является единственной, которую можно использовать в условиях такого дефицита информации.

В начале 12 пикселей, в конце — 15. Всего три точки в плюс. Но это в абсолютных значениях. В относительных же Кейденс в кадре увеличилась на целых 25%. Очень даже и не мало. Поэтому надо вычислить разницу в дистанциях. Опытным путем (метод описан здесь в апдейте) было установлено, что разница в размерах в четверть достигается при примерно 30%-ной разнице в расстояниях. Надо сказать, там процент получился не столь круглым, но ввиду отсутствия очень точных исходных данных округлим для удобства.

В ходе предыдущего мозгового штурма гражданин Smolilo предложил интересную схему. Что она нам дает? Она может предложить использовать кадр из мультфильма в качестве проекции удаленного объекта на объект приближенный. В этом справочнике на этой схеме:

роль приближенного и удаленного объектов играют линейка и столб соответственно. В нашем случае линейка заменяется кадром, а столб – «реальной» Кейденс.
На кадре из конца траектории (подсчет при масштабе отображения 100%) голова Кейденс имеет линейный размер в 5 мм. По формуле

Д = (Впред. / Влин.) * 5

где Д — дальность до реального объекта, Впред. — реальный его размер и Влин. — размер проекции
высчитываем дальность до Кейденс на последнем кадре плана:

Д= (481 / 5) x 5 = 481 метр.

Ничего себе пещерка, да? Для получения дальности в начале траектории прибавляем к полученным метрам 30%. Итого, 625,3 метра.
СпойлерЗдесь можно устроить бурный срач на тему схождения лучей внутри камеры.


Теперь нужно скрестить результаты этих подсчетов и известные данные о длине видимой горизонтальной проекции баллистической траектории. Представим все в виде вот такой схемы, где A — точка проекции на плоскость начального положения Кейденс, а B — конечного. AC — соответственно, вспомогательный отрезок, параллельный плоскости кадра.


Для подсчета длины отрезка AB следует призвать на помощь товарища Пифагора, дабы он сподвиг на накарябание вот такого выражения:


Что мы имеем на данный момент. Высота баллистической траектории — 5,67 метра, длина (X) — 144,22 метра. Довольно интересные цифры выходят, особенно в свете наших земных показателей аналогичного полета.

Полетное время

Считаем время. FPS видеофайла равняется 23,976 кадра в секунду. Это значит, что между кадрами проходит 0,041708375041708375041708375041708 секунды. Сократим до 0,042 с. Полет до верхней точки длится 20 таких промежутков. Итого, показанная баллистическая траектория была проделана за 0,83 секунды.

Начальная скорость

Зная время полета, можно посчитать начальную скорость головы Кейденс, а вслед за ней и всего остального.
Берем первый отрезок траектории и измеряем его длину.

91,2 сантиметра. 91,2 см за 0,042 секунды дают скорость в 21,714285714285714285714285714286 м/с. Округлим до 21,7 м/с.

Трубка пятнадцать, прицел сто двадцать!

Встроенными инструментами Фотошопа (линейка) измеряем угол старта системы «Кейденс-Твайлайт». Получаем значение в 63°.

Уравнение, равенство и братство

Снова берем уравнение баллистической траектории и начинаем его крутить-вертеть, собирая все известные по одну сторону от знака равенства, а все неизвестное — по другую.



Впихиваем в последнее уравнение собранную информацию:
X = 144,22 м
Y = 5,67 м
V = 21,7 м/с
α = 69°

Подставляем и считаем:

Итог: в мире пони ускорение свободного падения равняется g=2,5398329840256418062352196517282 м/с². Для удобства округлим до 2,54 м/с²

Няша-броняша Nirton_the_brony проверил цифирь и заметил ошибку. Я тоже перепроверил и таки да, есть ошибка. УСП равно g=2.1517941257644722556441979806109782441119095259748011 м/с² ну или 2,15 м/с² Округление до второй цифры после запятой для данного случая является справедливым. Во-первых, у нас не было данных с микронной точностью, а во-вторых, полет происходил ниже уровня поверхности кантерлотской земли. К примеру, на земле УСП меняется в зависимости от географических и т.п. параметров места измерения. Причем «пляска» идет именно вокруг второй цифры после запятой.

Заметьте, в подсчетах мы пользовались исключительно наглядно полученной информацией. Т.е. благодаря использованию фактических, а не теоретически-вакуумных X и Y все расчеты получились уже с учетом сопротивления воздуха. Кстати о сопротивлении воздуха, кто его подсчитает при помощи основании расхождения теоретических и фактических параметров траектории?